Ecuaciones de valor · deudas = pagos
Para comparar dinero de fechas distintas hay que llevarlo todo a una misma fecha, la fecha focal. Ubique las deudas (lo que se debe, el precio, la meta) y los pagos (con qué se cancelan) en la línea de tiempo, y la calculadora despeja lo que falte: un pago, el momento de un pago o la tasa. Sirve para refinanciar deudas, comprar cartera, comparar propuestas o armar un plan de depósitos.
Planteamiento
Deudas y pagos cada fila es una flecha de la línea de tiempo
| Concepto | Lado | Periodo | Monto conocido | Veces X | |
|---|---|---|---|---|---|
Resultado
Línea de tiempo
Todo llevado a la fecha focal periodo 10,00
| Concepto | Lado | Periodo | Valor | Factor | En la fecha focal |
|---|---|---|---|---|---|
| Meta de ahorro | Deuda | 10 | $ 3.500.000 | 1,000000 | $ 3.500.000 |
| Primer depósito | Pago | 3 | $ 1.501.785 | 1,087085 | $ 1.632.569 |
| Segundo depósito | Pago | 7 | $ 1.801.785 | 1,036434 | $ 1.867.431 |
Desarrollo paso a paso (6 pasos)
- PlanteamientoΣ deudas en la fecha focal = Σ pagos en la fecha focalFecha focal: periodo 10,00 · tasa 1,2000 % por periodo= Se despeja X
- Despeje de XX · (Σ factores de X en pagos − Σ factores de X en deudas) = Σ deudas conocidas − Σ pagos conocidosX · 2,12351894 = $ 3.189.069,88= X = $ 1.501.785,47
- Deuda · Meta de ahorroV · (1 + i)^(fecha focal − periodo)$ 3.500.000,00 · (1 + 0,01200000)^(10,00 − 10,0000)= $ 3.500.000,00
- Pago · Primer depósitoV · (1 + i)^(fecha focal − periodo)$ 1.501.785,47 · (1 + 0,01200000)^(10,00 − 3,0000)= $ 1.632.568,77
- Pago · Segundo depósitoV · (1 + i)^(fecha focal − periodo)$ 1.801.785,47 · (1 + 0,01200000)^(10,00 − 7,0000)= $ 1.867.431,23
- ComprobaciónΣ deudas = Σ pagos (en la fecha focal)$ 3.500.000,00 = $ 3.500.000,00= Se cumple
◧ Caso de práctica · Refinanciar dos deudas Intermedio
Usted debe $1.200.000 dentro de 2 meses y $2.000.000 dentro de 5 meses. Acuerda con el acreedor pagar $800.000 hoy y el resto en un solo pago en el mes 6, con una tasa del 2,5 % mensual. ¿De cuánto es el pago del mes 6?
Modelo Ecuación de valor: Σ deudas = Σ pagos en una fecha focal · incógnita: un pago (X)
Respuesta Pago del mes 6: $ 2.446.820,73
El pago del mes 6 es de $2.446.821. La fecha focal se puede poner en cualquier mes: la respuesta es la misma; en el mes 6 la cuenta es más corta porque X no hay que moverla.
◧ Caso de práctica · ¿Cuándo hacer el segundo pago? Intermedio
Una tienda debe $4.000.000 a 4 meses y $3.000.000 a 8 meses. Propone pagar con dos cuotas iguales de $3.500.000: una hoy y otra más adelante. La tasa pactada es del 2 % mensual. ¿En qué mes debe hacer el segundo pago?
Modelo Ecuación de valor · incógnita: tiempo (n = −ln(VP/V) / ln(1 + i))
Respuesta Mes del segundo pago: 12,07
El segundo pago cae hacia el mes 12,07, es decir, unos 12 meses y 2 días. Como el pago de hoy adelanta dinero, el segundo puede irse más allá de las fechas originales.
◧ Caso de práctica · Dos depósitos para una meta Intermedio
Para reunir $3.500.000 en el mes 10, una persona hará dos depósitos en una cuenta que paga 1,2 % mensual: uno en el mes 3 y otro en el mes 7, este último $300.000 mayor que el primero. ¿De cuánto es cada depósito?
Modelo Ecuación de valor con una incógnita en dos flujos: X y X + 300.000
Respuesta Primer depósito: $ 1.501.785,47
El primer depósito es de $1.501.785 y el segundo de $1.801.785. La meta se trata como la «deuda» y los depósitos como los «pagos» que la cubren.
◧ Caso de práctica · Comprar cartera Intermedio
Un fondo compra tres facturas de un mismo cliente: $80.000 que vence en 2 meses, $150.000 en 5 meses y $220.000 en 9 meses. Quiere ganar el 2,8 % mensual. ¿Cuánto debe pagar hoy por las tres facturas?
Modelo Ecuación de valor con fecha focal hoy: el precio (X) es el valor presente de los cobros
Respuesta Precio de la cartera: $ 377.943,37
Por $450.000 en facturas paga $377.943 hoy. Esa diferencia es su ganancia del 2,8 % mensual.
◧ Caso de práctica · Valor de un negocio con tasas que cambian Avanzado
Se espera que un negocio deje $5.000.000, $6.500.000 y $8.000.000 al final de los próximos tres años. El costo del dinero será del 11 %, 13 % y 12 % efectivo anual en cada año, respectivamente. ¿Cuánto vale hoy el negocio?
Modelo Valor presente con una tasa distinta por periodo: cada flujo se descuenta con el producto de las tasas anteriores
Respuesta Valor presente: $ 15.381.373,79
El negocio vale $15.381.374 hoy. El flujo del año 3 se descuenta con 1,11 × 1,13 × 1,12, no con una sola tasa elevada al cubo.
◧ Caso de práctica · ¿Qué tasa esconde un acuerdo de pago? Intermedio
Un amigo le presta hoy $10.000.000 a un comerciante. Acuerdan que le devolverá $4.000.000 en el mes 3 y $7.000.000 en el mes 8. ¿Qué tasa mensual está ganando el amigo?
Modelo Ecuación de valor · incógnita: tasa (i). Se busca la i que iguala deuda y pagos en la fecha focal.
Respuesta Tasa mensual: 1,5653 %
No hay fórmula directa: la tasa se encuentra por aproximación, como una TIR. El acuerdo equivale a 1,57 % mensual, 20,49 % E.A. Los $1.000.000 «de más» no dicen la tasa, porque importa cuándo se paga cada peso.
◧ Caso de práctica · Encuentre el error: sumar pesos de fechas distintas BásicoEncuentre el error
Un comerciante debe $3.000.000 en el mes 2 y $5.000.000 en el mes 6. Propone cambiar ambas deudas por un solo pago en el mes 4, con una tasa del 2 % mensual. ¿De cuánto debe ser el pago del mes 4?
- Total de las deudas: $3.000.000 + $5.000.000
- Pago del mes 4 = $8.000.000
Resultado propuesto: $ 8.000.000,00
El error Se sumaron pesos de fechas distintas. Antes de sumar, cada valor se lleva a la fecha focal con la tasa.
Modelo Ecuación de valor con fecha focal en el mes 4 · X = 3.000.000 · 1,02² + 5.000.000 · 1,02^−2
Respuesta Pago del mes 4: $ 7.927.043,91
La deuda del mes 2 se paga 2 meses tarde (gana intereses) y la del mes 6, 2 meses antes (se descuenta). El pago justo es $7.927.044, no $8.000.000.
◧ Caso de práctica · ¿Contado con descuento o cuotas «sin interés»? Básico¿Qué conviene?
Un televisor cuesta $4.200.000. Si se paga de contado dan el 8 % de descuento ($3.864.000); también se puede pagar en 6 cuotas mensuales «sin interés» de $700.000. Su ahorro gana el 0,9 % mensual. ¿Qué tasa mensual esconden las cuotas «sin interés»?
- Pagar de contado con el descuento ✔ conviene
- Pagar las 6 cuotas «sin interés»
Criterio Se compara la tasa implícita de las cuotas con lo que gana el dinero ahorrado: si la tasa de las cuotas es mayor, conviene pagar de contado.
Modelo Ecuación de valor · incógnita: tasa. El precio de contado es el valor presente de las cuotas.
Respuesta Tasa mensual implícita: 2,4356 %
Las cuotas «sin interés» equivalen a financiar $3.864.000 al 2,44 % mensual (33,48 % E.A.): el interés está en el descuento que se pierde. Si tiene el dinero, conviene pagar de contado, porque su ahorro solo gana el 0,9 %.