Casos de práctica

Situaciones cotidianas resueltas con matemática financiera. Busque una parecida a la suya, ábrala en la calculadora y cambie los datos por los de su problema: verá el modelo, la fórmula con los valores sustituidos y cómo interpretar el resultado. Si prefiere resolverlos usted, vaya a Practicar: la aplicación le revisa la respuesta.

Nivel

Forma

Historias en varios pasos

Un crédito, cuatro preguntas El mismo crédito de un carro usado visto desde sus cuatro incógnitas: la cuota, la tasa, el plazo y el monto. Es siempre la misma ecuación de anualidad.

Variantes: la misma historia con distinta incógnita.

La inflación y mi CDT La fórmula de Fisher en los dos sentidos: cuánto se ganó de verdad y cuánto hay que pedir para ganarle a la inflación.

Variantes: la misma historia con distinta incógnita.

Un documento, tres descuentos Comercial, racional y compuesto: tres formas de calcular cuánto vale hoy un documento que se cobra después.

Variantes: la misma historia con distinta incógnita.

De ahorrar la cuota inicial a pagar la casa Tres pasos seguidos: el ahorro reúne la cuota inicial, el resto se financia con un crédito hipotecario y un abono extraordinario lo acorta.

Encadenados: el resultado de cada paso es un dato del siguiente.

Pesos o dólares Cuánto rinde en pesos una inversión en dólares y qué devaluación hace falta para que le gane a un CDT en pesos.

Variantes: la misma historia con distinta incógnita.

Un bono, dos preguntas El mismo bono: cuánto pagar por él según el rendimiento exigido y en cuánto tiempo, en promedio, se recupera el dinero.

Variantes: la misma historia con distinta incógnita.

Conversión de tasas

Básico De efectiva anual a mensual vencida Una cooperativa anuncia su crédito educativo al 38 % efectivo anual, con cuotas mensuales. ¿Qué tasa mensual vencida está cobrando en realidad? Tasas equivalentes: (1 + i_m)^12 = (1 + i_EA)Intermedio Nominal trimestre anticipado a efectiva anual Un banco ofrece a una empresa un crédito de tesorería al 24 % nominal anual, trimestre anticipado (24 % TA): los intereses de cada trimestre se cobran al empezarlo. ¿Cuál es la tasa efectiva anual? Tasas equivalentes: d = J / m → i = d / (1 − d) → EA = (1 + i)^m − 1 Intermedio DTF + puntos Un crédito empresarial cobra DTF + 5 puntos. La DTF está en 9,2 % nominal trimestre anticipado (T.A.). ¿Cuál es la tasa efectiva anual del crédito? Tasa indexada: (DTF + puntos) T.A. → d = J / 4 → i = d / (1 − d) → EA = (1 + i)^4 − 1 Intermedio IBR + puntos Una empresa tiene un crédito a IBR + 3,5 puntos. La IBR a un mes está en 9,1 % nominal mes vencido (N.M.V.). ¿Cuál es la tasa efectiva anual? Tasa indexada: (IBR + puntos) N.M.V. → i = J / 12 → EA = (1 + i)^12 − 1 BásicoEncuentre el error Encuentre el error: dividir la tasa Un fondo anuncia 18 % efectivo anual y un estudiante necesita la tasa trimestral equivalente. ¿Cuál es la tasa trimestral correcta? Tasas equivalentes: (1 + i_t)^4 = 1 + EA Básico¿Qué conviene? ¿Abonar a la deuda o abrir un CDT? Una persona recibe una prima de $5.000.000. Tiene un crédito de libre inversión al 1,9 % mensual vencido y le ofrecen un CDT al 10,5 % efectivo anual. ¿A qué tasa efectiva anual equivale el crédito? Tasas equivalentes: EA = (1 + i_m)^12 − 1

Interés simple

Básico Préstamo entre familiares Usted le presta $350.000 a un familiar, que le paga el 1,8 % mensual simple durante 5 meses. ¿Cuánto le devuelve al final? Interés simple · incógnita: valor futuro (VF = VP · (1 + i · n))Básico ¿Qué tasa cobra la casa de empeño? Una persona empeña un computador y recibe $800.000. A los 4 meses lo recupera pagando $896.000. La casa de empeño cobra interés simple. ¿Qué tasa anual simple le cobraron? Interés simple · incógnita: tasa (i = (VF / VP − 1) / n)Básico ¿Cuánto tiempo para ganar lo que necesito? Un fondo de empleados paga el 9 % anual simple. Una socia deposita $5.000.000 y quiere retirar $5.600.000 para pagar una matrícula. ¿Cuánto tiempo debe dejar el dinero? Interés simple · incógnita: tiempo (n = (VF / VP − 1) / i)Básico Inversión entre dos fechas (año comercial) Una persona invierte $2.400.000 desde el 10 de febrero hasta el 25 de septiembre del mismo año, al 15 % anual simple comercial. ¿Cuánto recibe al vencimiento? Interés simple con tiempo comercial (meses de 30 días, año de 360)Básico Préstamo con días exactos (año de 365) Un comerciante presta $6.000.000 el 3 de marzo de 2026 y se los devuelven el 18 de julio de 2026, con el 20 % anual simple. Se cuentan los días exactos del calendario y el año de 365 días. ¿Cuánto le devuelven? Interés simple exacto · n = días reales / 365; VF = VP · (1 + i · n)

Descuento· conviene saber antes: interés simple

Básico Vender una factura antes de su vencimiento Una pyme tiene una factura por $6.500.000 que le pagan dentro de 96 días. Un fondo de factoring se la compra hoy, descontándola al 2,5 % mensual anticipado (descuento comercial). ¿Cuánto dinero recibe hoy la pyme? Descuento simple comercial · D = VN · d · n, VP = VN − D Básico Descontar una factura entre dos fechas Una distribuidora tiene una factura de $9.500.000 que vence el 15 de diciembre de 2026. El 2 de octubre de 2026 la vende a un banco con descuento comercial del 2 % mensual, contando los días con el convenio 30/360. ¿Cuánto recibe el 2 de octubre? Descuento simple comercial · días 30/360; VP = VN · (1 − d · n)Básico Pagaré con descuento racional Un taller recibió de un cliente un pagaré por $4.200.000 que vence en 5 meses. Un prestamista se lo compra hoy aplicando descuento racional (o justo) con el 1,6 % mensual simple. ¿Cuánto recibe hoy el taller? Descuento simple racional · VP = VN / (1 + i · n)Intermedio Título descontado mes a mes Una empresa vende hoy un título por $12.000.000 que vence en 8 meses. El comprador aplica un descuento compuesto del 1,2 % mensual. ¿Cuánto paga hoy el comprador? Descuento compuesto · VP = VN · (1 − d)^n

Factoring· conviene saber antes: descuento

Intermedio Cuánto llega de verdad al vender una factura Una distribuidora de productos de aseo le vende a una cadena de supermercados y recibe una factura por $18.000.000 que le pagarán en 75 días. Un fondo de factoring le adelanta el 85 % de la factura, la descuenta al 1,9 % mensual anticipado y suma 3 días por el canje. Cobra además una comisión del 0,5 % sobre la factura, con IVA del 19 %, y descuenta el 4 × 1000 del giro. ¿Cuánto dinero recibe hoy la distribuidora? Factoring · descuento comercial sobre el valor anticipado: Neto = VA − VA · d · n − comisión − IVA − GMF Intermedio El costo real de un factoring con gastos fijos Un taller de confecciones vende una factura de $9.400.000 que vence en 60 días. El fondo le adelanta el 90 %, cobra el 2,1 % mensual vencido, una comisión de estudio de $150.000 más IVA del 19 % y el 4 × 1000 del giro. ¿Cuánto le cuesta de verdad la operación, en efectiva anual? Costo efectivo del factoring · EA = (VA / Neto)^(1/n) − 1, con n en años Intermedio¿Qué conviene? ¿Vender la factura o pedir un crédito? Una empresa de software tiene una factura por $25.000.000 que su cliente pagará en 90 días y necesita liquidez hoy. Un fondo de factoring le adelanta el 80 % al 1,7 % mensual anticipado, con una comisión del 1 % sobre la factura más IVA del 19 % y el 4 × 1000 del giro. Su banco le ofrece un crédito de capital de trabajo a 90 días al 28 % efectivo anual, sin otros costos. ¿Cuál es el costo efectivo anual del factoring? Costo efectivo del factoring · EA = (VA / Neto)^(1/n) − 1, comparado con la efectiva anual del crédito

Interés compuesto· conviene saber antes: conversión de tasas

Básico ¿Cuándo se triplica un ahorro? Un ahorro rinde el 2 % mensual compuesto. ¿En cuánto tiempo se triplica el dinero? Interés compuesto · incógnita: tiempo (n = ln(VF/VP) / ln(1 + i))Intermedio Tasa de cambio con revaluación Un importador debe pagar USD 40.000 dentro de 3 meses. Hoy el dólar está a $4.050 y se espera que el peso se revalúe un 1,5 % mensual. ¿A cuánto se espera el dólar en 3 meses y cuánto le costará el pago en pesos? Interés compuesto con tasa negativa · VF = VP · (1 − 0,015)^3 Básico ¿Cuánto gané de verdad con el CDT? Un CDT a un año pagó el 11 % efectivo anual. En ese mismo año la inflación fue del 5,5 %. ¿Cuál fue la rentabilidad real, descontando la inflación? Tasa real o deflactada (Fisher) · iᵣ = (iₜ − i_f) / (1 + i_f)BásicoEncuentre el error Encuentre el error: ¿simple o compuesto? Una persona deja $8.000.000 durante 3 años en una inversión que paga el 10 % efectivo anual, reinvirtiendo los intereses. ¿Cuánto tendrá al final? Interés compuesto · VF = VP · (1 + i)^n Intermedio ¿Qué tasa necesito para ganarle a la inflación? Un ahorrador quiere que su dinero crezca un 4 % real al año. Se espera una inflación del 6 %. ¿Qué tasa efectiva anual debe buscar? Fisher, despejando la tasa total · iₜ = iᵣ + i_f + iᵣ · i_f Intermedio Invertir en dólares Una persona cambia $50.000.000 a dólares y los pone en un CDT en dólares al 4,5 % efectivo anual durante 2 años. Se espera que el peso se devalúe un 6 % anual frente al dólar. ¿Cuántos pesos tendrá al final, si se cumple la devaluación esperada? Combinación de tasas · i = i₁ + i₂ + i₁ · i₂; VF = VP · (1 + i)^n Intermedio ¿Qué devaluación hace falta para que valga la pena? La misma persona podría dejar sus pesos en un CDT al 10,5 % efectivo anual. El CDT en dólares paga el 4,5 % efectivo anual. ¿Qué devaluación anual iguala las dos inversiones? Combinación de tasas despejando la segunda · i₂ = (1 + i) / (1 + i₁) − 1 Intermedio¿Qué conviene? ¿Aprovechar el descuento por pronto pago? Un proveedor le factura $100 (en miles) a una tienda con la condición «2 % de descuento si paga en 10 días; si no, el total a los 30 días». Pagar el día 10 cuesta $98; esperar hasta el día 30 cuesta $100. ¿Qué tasa efectiva anual paga la tienda si no aprovecha el descuento? Interés compuesto · incógnita: tasa (i = (VF / VP)^(1/n) − 1) con n = 20/360 de año

Ecuaciones de valor· conviene saber antes: interés compuesto

Intermedio Refinanciar dos deudas Usted debe $1.200.000 dentro de 2 meses y $2.000.000 dentro de 5 meses. Acuerda con el acreedor pagar $800.000 hoy y el resto en un solo pago en el mes 6, con una tasa del 2,5 % mensual. ¿De cuánto es el pago del mes 6? Ecuación de valor: Σ deudas = Σ pagos en una fecha focal · incógnita: un pago (X)Intermedio ¿Cuándo hacer el segundo pago? Una tienda debe $4.000.000 a 4 meses y $3.000.000 a 8 meses. Propone pagar con dos cuotas iguales de $3.500.000: una hoy y otra más adelante. La tasa pactada es del 2 % mensual. ¿En qué mes debe hacer el segundo pago? Ecuación de valor · incógnita: tiempo (n = −ln(VP/V) / ln(1 + i))Intermedio Dos depósitos para una meta Para reunir $3.500.000 en el mes 10, una persona hará dos depósitos en una cuenta que paga 1,2 % mensual: uno en el mes 3 y otro en el mes 7, este último $300.000 mayor que el primero. ¿De cuánto es cada depósito? Ecuación de valor con una incógnita en dos flujos: X y X + 300.000 Intermedio Comprar cartera Un fondo compra tres facturas de un mismo cliente: $80.000 que vence en 2 meses, $150.000 en 5 meses y $220.000 en 9 meses. Quiere ganar el 2,8 % mensual. ¿Cuánto debe pagar hoy por las tres facturas? Ecuación de valor con fecha focal hoy: el precio (X) es el valor presente de los cobros Avanzado Valor de un negocio con tasas que cambian Se espera que un negocio deje $5.000.000, $6.500.000 y $8.000.000 al final de los próximos tres años. El costo del dinero será del 11 %, 13 % y 12 % efectivo anual en cada año, respectivamente. ¿Cuánto vale hoy el negocio? Valor presente con una tasa distinta por periodo: cada flujo se descuenta con el producto de las tasas anteriores Intermedio ¿Qué tasa esconde un acuerdo de pago? Un amigo le presta hoy $10.000.000 a un comerciante. Acuerdan que le devolverá $4.000.000 en el mes 3 y $7.000.000 en el mes 8. ¿Qué tasa mensual está ganando el amigo? Ecuación de valor · incógnita: tasa (i). Se busca la i que iguala deuda y pagos en la fecha focal.BásicoEncuentre el error Encuentre el error: sumar pesos de fechas distintas Un comerciante debe $3.000.000 en el mes 2 y $5.000.000 en el mes 6. Propone cambiar ambas deudas por un solo pago en el mes 4, con una tasa del 2 % mensual. ¿De cuánto debe ser el pago del mes 4? Ecuación de valor con fecha focal en el mes 4 · X = 3.000.000 · 1,02² + 5.000.000 · 1,02^−2 Básico¿Qué conviene? ¿Contado con descuento o cuotas «sin interés»? Un televisor cuesta $4.200.000. Si se paga de contado dan el 8 % de descuento ($3.864.000); también se puede pagar en 6 cuotas mensuales «sin interés» de $700.000. Su ahorro gana el 0,9 % mensual. ¿Qué tasa mensual esconden las cuotas «sin interés»? Ecuación de valor · incógnita: tasa. El precio de contado es el valor presente de las cuotas.

Anualidades· conviene saber antes: interés compuesto

Básico Cuota de un crédito para una moto Una moto cuesta $7.800.000 y se financia completa a 24 cuotas mensuales iguales, pagando al final de cada mes, con una tasa del 2,1 % mensual. ¿De cuánto es la cuota? Anualidad ordinaria (vencida) · incógnita: cuota (A = VP · i / [1 − (1 + i)^−n])Básico ¿Cuánto me pueden prestar? Una pareja puede destinar $1.200.000 al mes a un crédito de libre inversión a 60 meses, al 1,45 % mensual. ¿Cuál es el monto máximo que pueden pedir? Anualidad ordinaria · incógnita: valor presente (VP = A · (1 − (1 + i)^−n) / i)Básico ¿Cuántas cuotas me faltan? Una persona debe $3.500.000 en una tarjeta que cobra el 2,1 % mensual. Decide pagar $250.000 fijos cada mes y no volver a usarla. ¿Cuántas cuotas necesita para saldar la deuda? Anualidad ordinaria · incógnita: número de periodos (n = −ln(1 − VP · i / A) / ln(1 + i))Intermedio Estudiar ahora y pagar después Un estudiante toma un crédito educativo de $18.000.000. Empieza a pagar después de 6 meses de gracia en los que no paga nada (los intereses se acumulan) y luego paga 36 cuotas mensuales iguales. La tasa es 1,3 % mensual. ¿De cuánto es cada cuota? Anualidad diferida · incógnita: cuota (A = VP · (1 + i)^k / [(1 − (1 + i)^−n) / i])Intermedio ¿Qué tasa me están cobrando? Un taller necesita $45.000.000 para comprar maquinaria y no pagará más del 28 % efectivo anual. El banco le ofrece 36 cuotas mensuales vencidas de $1.850.000. ¿Qué tasa cobra el banco y le conviene tomar el crédito? Anualidad ordinaria · incógnita: tasa (se despeja por aproximación)Intermedio Rentabilidad de un local arrendado Un local comercial cuesta $300.000.000 y se arrienda en $2.500.000 mensuales, indefinidamente. ¿Qué rentabilidad mensual da la inversión? Anualidad perpetua · incógnita: tasa (i = A / VP)Básico Ahorrar al comienzo de cada mes Una trabajadora independiente consigna $400.000 el primer día de cada mes durante 24 meses en una cuenta que paga el 0,9 % mensual. ¿Cuánto tendrá al final del mes 24? Anualidad anticipada · incógnita: valor futuro (VF = A · ((1 + i)^n − 1) / i · (1 + i))IntermedioEncuentre el error Encuentre el error: la primera cuota es hoy Una clínica toma en leasing un equipo de $20.000.000 con 12 cuotas mensuales iguales al 1,5 % mensual. La primera cuota se paga el mismo día en que recibe el equipo. ¿De cuánto es la cuota correcta? Anualidad anticipada · A = VP / [(1 − (1 + i)^−n) / i · (1 + i)]Básico Carro usado · 1. La cuota Una familia compra un carro usado de $32.000.000 financiado completo a 48 cuotas mensuales vencidas, al 1,4 % mensual. ¿De cuánto es la cuota? Anualidad ordinaria · incógnita: cuota (A = VP · i / [1 − (1 + i)^−n])Intermedio Carro usado · 2. La tasa Otro concesionario ofrece el mismo carro de $32.000.000 a 48 cuotas mensuales de $950.000. ¿Qué tasa mensual cobra ese concesionario? Anualidad ordinaria · incógnita: tasa (VP = A · (1 − (1 + i)^−n) / i, se despeja i por aproximación)Básico Carro usado · 3. El plazo La familia prefiere pagar $1.100.000 al mes por el crédito de $32.000.000 al 1,4 % mensual. ¿Cuántas cuotas necesita? Anualidad ordinaria · incógnita: número de periodos (n = −ln(1 − VP · i / A) / ln(1 + i))Básico Carro usado · 4. El monto Si la familia solo puede pagar $800.000 al mes, a 48 cuotas y al 1,4 % mensual. ¿Cuánto le pueden prestar? Anualidad ordinaria · incógnita: valor presente (VP = A · (1 − (1 + i)^−n) / i)

Gradientes· conviene saber antes: anualidades

Avanzado Una beca que crece para siempre Una fundación quiere crear una beca anual a perpetuidad. La primera beca, dentro de un año, será de $2.400.000, y cada año siguiente subirá $150.000. El dinero rinde el 9 % efectivo anual. ¿Cuánto debe depositar hoy la fundación? Gradiente aritmético perpetuo · VP = A/i + G/i² Intermedio Crédito con cuota que sube cada mes Un crédito de $60.000.000 se paga en 84 cuotas mensuales que suben $8.000 cada mes, con una tasa del 1,1 % mensual. ¿De cuánto es la primera cuota? Gradiente aritmético · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VP Intermedio Ahorro con depósitos que crecen en porcentaje Una pareja quiere reunir $25.000.000 en 3 años con depósitos trimestrales vencidos que crecen un 4 % cada trimestre. La cuenta paga el 3,5 % trimestral. ¿De cuánto debe ser el primer depósito? Gradiente geométrico · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VF Avanzado Cuotas fijas que suben cada año (escalonado) Un crédito de vivienda de $70.000.000 a 4 años se paga con cuotas mensuales iguales durante cada año, que suben un 8 % de un año al siguiente. La tasa es del 15 % efectivo anual. ¿De cuánto son las cuotas mensuales del primer año? Gradiente escalonado: cada año es una anualidad; sus valores finales forman un gradiente geométrico anual Avanzado Retiros para siempre que crecen con la inflación Una persona tiene $50.000.000 en un fondo que rinde el 9 % efectivo anual. Quiere retirar dinero cada año, para siempre, aumentando cada retiro un 3 %. ¿Cuánto puede retirar el primer año? Gradiente geométrico perpetuo · incógnita: primer pago (A = VP · (i − g))

Amortización· conviene saber antes: anualidades

Intermedio¿Qué conviene? Abono extraordinario: ¿bajar plazo o cuota? Un crédito de vehículo de $40.000.000 se paga en 48 cuotas mensuales al 1,3 % mensual. En la cuota 18 el deudor abona $10.000.000 extra a capital. ¿Cuánto se ahorra en intereses si el abono reduce el plazo? Amortización francesa (cuota fija) con abono extraordinario Avanzado Intereses cobrados por anticipado Un crédito de $9.000.000 a 6 meses se paga con abono constante a capital. El banco cobra los intereses por anticipado, al 1,5 % mensual anticipado. ¿Cuánto se paga en total de intereses? Abono constante a capital con intereses anticipados: periodo 0 = solo intereses; cada cuota = abono + intereses del saldo que queda Intermedio Abono constante a capital para una máquina Una panadería financia un horno de $60.000.000 a 3 años con cuotas trimestrales, al 4 % trimestral. El banco usa abono constante a capital: cada trimestre se abona lo mismo a la deuda más los intereses del saldo. ¿Cuánto paga de intereses en total? Amortización alemana · abono = VP / n, cuota = abono + i · saldo Intermedio Crédito puente: solo intereses Un constructor toma un crédito puente de $40.000.000 a 18 meses, al 1,5 % mensual. Paga solo intereses cada mes y devuelve todo el capital al final, cuando venda los apartamentos. ¿Cuánto paga de intereses en total? Amortización americana (bullet) · cuota = VP · i; el capital se paga en la última cuota Intermedio Seis meses pagando solo intereses Una emprendedora recibe $25.000.000 para montar un local. Los primeros 6 meses solo paga intereses (gracia parcial) y después paga 24 cuotas fijas mensuales, al 1,7 % mensual. ¿De cuánto es la cuota fija después de la gracia? Amortización francesa con gracia parcial · durante la gracia cuota = i · VP; después A = VP · i / (1 − (1 + i)^−n)Intermedio Gracia total: los intereses se suman a la deuda Una familia toma un crédito de $30.000.000 para remodelar la casa. No paga nada durante 4 meses (gracia total) y luego paga 36 cuotas fijas mensuales, al 1,2 % mensual. ¿Cuánto paga de intereses en total? Amortización francesa con gracia total · saldo tras la gracia = VP · (1 + i)^k; luego cuota fija Intermedio La casa · 2. El crédito hipotecario Con los $36.000.000 ahorrados, la pareja pide un crédito por el resto del apartamento: $144.000.000 a 15 años (180 cuotas mensuales fijas), al 1 % mensual. ¿De cuánto es la cuota mensual? Amortización francesa · A = VP · i / (1 − (1 + i)^−n)Intermedio La casa · 3. Abonar la prima En la cuota 24 del crédito de $144.000.000 (180 cuotas al 1 % mensual), la pareja abona $10.000.000 extra a capital y decide reducir el plazo. ¿Cuánto se ahorran en intereses? Amortización francesa con abono extraordinario · reducir plazo: la cuota sigue igual y se recalcula n Intermedio Cuota fija anticipada Un equipo de $15.000.000 se financia en 12 cuotas mensuales iguales, la primera el mismo día de la compra, al 1,6 % mensual. ¿De cuánto es cada cuota? Amortización francesa con cuotas anticipadas · A = VP · i / [(1 − (1+i)^−n) · (1 + i)]Intermedio Leasing con opción de compra Una empresa toma en leasing una camioneta de $90.000.000 a 60 cuotas mensuales anticipadas (la primera se paga al recibirla), al 1,2 % mensual. Al final puede quedarse con ella pagando una opción de compra de $9.000.000. ¿De cuánto es cada cuota? Anualidad anticipada con valor residual · A = (VP − VR · (1 + i)^−n) / [(1 − (1 + i)^−n) / i · (1 + i)]Avanzado Crédito con primas pactadas Un crédito de $30.000.000 a 36 meses al 1,4 % mensual se paga con cuota fija y, además, con abonos de $1.500.000 en cada prima (meses 6, 12, 18, 24, 30 y 36), acordados desde el principio. ¿De cuánto es la cuota ordinaria? Cuota fija con abonos extraordinarios pactados: A = (VP − VP de los abonos) · i / (1 − (1+i)^−n)Avanzado Saldo de un crédito con cuota creciente Un crédito de $45.000.000 a 60 meses al 1,2 % mensual se paga con cuotas que suben un 0,5 % cada mes. ¿Cuánto se debe después de pagar la cuota 24? Amortización con gradiente geométrico · saldo = VP, en el mes 24, de las cuotas que faltan Avanzado Crédito en UVR Un crédito de $50.000.000 se pacta en UVR a 12 meses, con cuota fija en UVR al 1 % mensual. La UVR vale $390 al desembolso y se espera que suba 0,4 % mensual (inflación). ¿Cuánto se paga en total, en pesos? Amortización francesa en unidades (UVR), convertida a pesos con la UVR proyectada

Planes de ahorro (capitalización)· conviene saber antes: anualidades

Intermedio Ahorrar para una meta con cuota fija Una estudiante quiere reunir $6.000.000 en 18 meses para un intercambio. Su cuenta paga el 0,9 % mensual y ahorrará lo mismo al final de cada mes. ¿Cuánto debe ahorrar cada mes? Capitalización con cuota fija · C = VF · i / ((1 + i)^n − 1)Intermedio Plan de ahorro con depósitos crecientes Un negocio quiere reunir $12.000.000 en 2 años con depósitos trimestrales vencidos que suben $100.000 cada trimestre. El fondo paga el 2,5 % trimestral. ¿De cuánto debe ser el primer depósito? Capitalización con gradiente aritmético · se despeja C₁ del VF Intermedio Ahorro que sube un porcentaje cada mes Un joven empieza ahorrando $300.000 al final del primer mes y cada mes aumenta el depósito un 1 %. La cuenta paga el 0,8 % mensual. ¿Cuánto tendrá después de 36 meses? Capitalización con gradiente geométrico · VF = Σ C₁ · (1 + g)^(t−1) · (1 + i)^(n−t)Intermedio La casa · 1. Ahorrar la cuota inicial Una pareja quiere comprar un apartamento de $180.000.000 y necesita el 20 % ($36.000.000) de cuota inicial. Tiene 30 meses para reunirla en un fondo que paga el 0,7 % mensual, con depósitos iguales al final de cada mes. ¿Cuánto debe ahorrar cada mes? Capitalización con cuota fija · C = VF · i / ((1 + i)^n − 1)

Plan de retiro (ahorrar y luego vivir del ahorro)· conviene saber antes: planes de ahorro (capitalización), gradientes

Intermedio ¿Cuánto ahorrar para la pensión? Una persona de 35 años quiere retirar $2.500.000 al mes durante 20 años cuando se retire, a los 65. Hasta entonces ahorrará cada mes en un fondo que paga el 0,6 % mensual; durante el retiro el dinero rendirá el 0,4 % mensual. ¿Cuánto debe ahorrar cada mes durante los 30 años? Plan de retiro en dos fases: VF del ahorro (anualidad, i₁, n₁) = VP de los retiros (anualidad, i₂, n₂)Intermedio ¿Cuánto podré retirar? Un trabajador independiente ahorra $500.000 al mes durante 25 años en un fondo al 0,7 % mensual. Después quiere retirar una suma fija mensual durante 20 años, mientras el saldo rinde el 0,45 % mensual. ¿De cuánto será cada retiro mensual? Plan de retiro en dos fases: R = VF del ahorro / [(1 − (1 + i₂)^−n₂) / i₂]Avanzado Retiros que suben con la inflación Una profesional ya tiene $20.000.000 ahorrados. Quiere, dentro de 20 años, retirar $3.000.000 el primer mes y que cada retiro suba un 0,3 % mensual (unos 3,7 % al año) durante 20 años. Su fondo paga 0,65 % mensual mientras ahorra y 0,5 % mensual mientras retira. ¿Cuánto debe ahorrar cada mes durante los próximos 20 años? Plan de retiro con retiros en gradiente geométrico: VP = R₁ · [1 − ((1 + g) / (1 + i₂))^n₂] / (i₂ − g); A = (VP − ahorro inicial · (1 + i₁)^n₁) / [((1 + i₁)^n₁ − 1) / i₁]

VPN y TIR· conviene saber antes: ecuaciones de valor

Intermedio Tasa de financiación de una compra a cuotas Una nevera vale $3.600.000 de contado. El almacén la ofrece con una cuota inicial del 25 % y 4 cuotas mensuales de $720.000. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando el almacén? Ecuación de valor: lo financiado (VP) = valor presente de las cuotas. La tasa que la cumple es la TIR del flujo.Intermedio ¿Vale la pena el food truck? Montar un food truck cuesta $45.000.000. Se esperan ganancias netas de $12, $15, $18, $18 y $20 millones en los próximos 5 años. El dueño exige una rentabilidad del 16 % anual. ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto? Valor presente neto · VPN = Σ Fₜ / (1 + TIO)^t Intermedio Relación beneficio/costo de un programa Una cooperativa invierte $80.000.000 en un programa de capacitación que le dejará beneficios netos de $25, $30, $30 y $35 millones en 4 años. Su tasa de oportunidad es 15 % anual. ¿Cuál es la relación beneficio/costo? Relación beneficio/costo · B/C = VP de ingresos / VP de egresos Avanzado VPN con una tasa distinta cada año Un proyecto de $60.000.000 dará $20, $22, $25 y $25 millones en 4 años. Se espera que la tasa de oportunidad sea 12 % el primer año, 13 % el segundo y 15 % el tercero y el cuarto. ¿Cuál es el valor presente neto? VPN con tasas por periodo · VPN = Σ Fₜ / [(1 + k₁) · (1 + k₂) · … · (1 + kₜ)]Intermedio¿Qué conviene? ¿Comprar o arrendar la moto de reparto? Un restaurante puede comprar una moto de reparto por $14.000.000 (mantenimiento de $1.200.000 al año y venta en $6.000.000 al cabo de 3 años) o arrendarla por $6.000.000 al año, pagados al final de cada año. Su tasa de oportunidad es 14 % anual. ¿Cuál es el VPN de comprar en lugar de arrendar? VPN del flujo diferencial (comprar − arrendar): se invierte la compra y se ahorra el arriendo menos el mantenimiento Avanzado Costo anual de una máquina Una lavandería evalúa una máquina que cuesta $50.000.000, dura 6 años, tiene un mantenimiento de $4.000.000 al año y al final se vende por $8.000.000. La tasa de oportunidad es 12 % anual. Otra máquina más barata ($32.000.000) dura 4 años, cuesta $7.000.000 al año y se vende por $3.000.000. ¿Cuál es el costo anual uniforme equivalente de la primera máquina? Costo anual uniforme equivalente · CAUE = VPN · i / (1 − (1 + i)^−n)Intermedio ¿En cuánto tiempo se pagan los paneles solares? Instalar paneles solares en un restaurante cuesta $24.000.000 y ahorra $5.000.000 al año en energía durante 8 años. La tasa de oportunidad es 10 % anual. ¿En cuánto tiempo se recupera la inversión, teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo? Periodo de recuperación descontado · momento en que el acumulado de Fₜ / (1 + TIO)^t llega a cero Avanzado Cuando las ganancias no se reinvierten a la TIR Una inversión de $30.000.000 en una bodega deja $9.000.000 al año durante 5 años. El inversionista exige el 12 % anual, pero solo puede reinvertir lo que recibe en un CDT al 8 %. ¿Cuál es la TIR modificada? TIR modificada · TIRM = (VF de ingresos a la tasa de reinversión / VP de egresos)^(1/n) − 1

Bonos y renta fija· conviene saber antes: anualidades

Intermedio ¿Cuánto pagar por un bono? Un bono corporativo tiene valor nominal de $10.000.000, paga un cupón del 9 % anual en dos pagos semestrales y le quedan 4 años (8 cupones). Un inversionista exige un rendimiento del 11 % efectivo anual. ¿Cuánto debe pagar por el bono? Precio de un bono · P = C · (1 − (1 + y)^−n) / y + VN · (1 + y)^−n, con y semestral equivalente al rendimiento exigido Intermedio ¿Cuánto rinde un bono comprado sobre la par? Un bono de valor nominal $5.000.000 paga un cupón del 8 % anual una vez al año y le quedan 5 años. Se ofrece a $5.200.000. ¿Qué rendimiento efectivo anual obtiene quien lo compre a ese precio y lo mantenga hasta el vencimiento? Rendimiento al vencimiento (TIR del bono): la y que cumple P = C · (1 − (1 + y)^−n) / y + VN · (1 + y)^−n Avanzado Duración de un bono Para el bono de $10.000.000 con cupón del 9 % anual pagado cada semestre, 8 cupones por cobrar y un rendimiento exigido del 11 % efectivo anual. ¿Cuál es su duración de Macaulay, en años? Duración de Macaulay · D = Σ t · VP(flujoₜ) / P

Comparar créditos· conviene saber antes: conversión de tasas, amortización

Básico¿Qué conviene? Tarjeta de crédito o libranza Se necesitan $12.000.000 a 24 meses. La tarjeta de crédito cobra 2,4 % mensual y una libranza cobra 1,35 % mensual. Suponga una tasa de usura de referencia del 27 % E.A. ¿Cuánto se ahorra en intereses con la opción más barata? ¿Alguna supera la usura? Comparación por efectiva anual y total de intereses (amortización francesa)Intermedio El costo real de un crédito con seguros Un banco presta $15.000.000 a 36 cuotas mensuales al 1,6 % mensual. Además cobra un seguro de vida de $18.000 con cada cuota y descuenta $300.000 de estudio de crédito del desembolso. ¿Cuál es el costo efectivo anual del crédito, con seguros y estudio? Costo efectivo: la TIR del flujo que de verdad recibe y paga el deudor (desembolso neto, cuotas más seguros), llevada a efectiva anual Intermedio¿Qué conviene? ¿La tasa más baja es el crédito más barato? Para $20.000.000 a 48 meses hay dos ofertas. Banco A: 1,45 % mensual, con seguro de $35.000 en cada cuota y una comisión de apertura de $600.000. Cooperativa B: 1,55 % mensual, sin seguros ni comisiones. ¿Cuál es el costo efectivo anual de la opción más barata? Comparación por costo efectivo anual (TIR con todos los cobros), no por la tasa anunciada

Comparar inversiones· conviene saber antes: conversión de tasas, interés compuesto

Básico Tres CDT con distinto monto y tasa A un año: A) $20.000.000 al 0,9 % mensual; B) $35.000.000 al 10 % efectivo anual; C) $35.000.000 al 9,6 % nominal trimestre vencido. ¿Cuál es la más rentable y cuál deja más dinero? Comparación por tasa efectiva anual Intermedio Comparar tasas con distinta forma Le ofrecen cuatro tasas para una inversión: 10 % N.M.V., 10,5 % E.A., 9,8 % N.T.A. y 0,85 % mensual vencida. ¿Cuál es la más rentable? Conversión de nominales, anticipadas y periódicas a efectiva anual Intermedio CDT con retención en la fuente Se abre un CDT de $4.000.000 a un año al 9 % efectivo anual. El banco retiene el 4 % de los rendimientos. ¿Cuánto recibe el inversionista al vencimiento? Valor futuro con retención sobre rendimientos

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