Gradientes · series que crecen
Cuando los pagos no son iguales sino que suben (o bajan) de forma regular. El gradiente aritmético suma una cantidad fija cada periodo; el geométrico crece un porcentaje fijo, que es como se comportan los arriendos y los salarios indexados a la inflación.
Un pago por periodo, durante n periodos, que crece de uno al siguiente.
Datos de la serie
Resultado
Flujo de pagos el saldo es lo que se debe después de cada pago, si la serie paga un crédito por el VP
| Periodo | Pago | Valor presente del pago | Saldo tras el pago |
|---|---|---|---|
| 1 | $ 816.796 | $ 807.909 | $ 59.843.204 |
| 2 | $ 824.796 | $ 806.946 | $ 59.676.682 |
| 3 | $ 832.796 | $ 805.908 | $ 59.500.329 |
| 4 | $ 840.796 | $ 804.797 | $ 59.314.037 |
| 5 | $ 848.796 | $ 803.615 | $ 59.117.695 |
| 6 | $ 856.796 | $ 802.363 | $ 58.911.193 |
| 7 | $ 864.796 | $ 801.043 | $ 58.694.420 |
| 8 | $ 872.796 | $ 799.657 | $ 58.467.262 |
| 9 | $ 880.796 | $ 798.206 | $ 58.229.605 |
| 10 | $ 888.796 | $ 796.693 | $ 57.981.334 |
| 11 | $ 896.796 | $ 795.117 | $ 57.722.333 |
| 12 | $ 904.796 | $ 793.482 | $ 57.452.482 |
| 13 | $ 912.796 | $ 791.788 | $ 57.171.663 |
| 14 | $ 920.796 | $ 790.037 | $ 56.879.755 |
| 15 | $ 928.796 | $ 788.230 | $ 56.576.635 |
| 16 | $ 936.796 | $ 786.370 | $ 56.262.182 |
| 17 | $ 944.796 | $ 784.456 | $ 55.936.270 |
| 18 | $ 952.796 | $ 782.491 | $ 55.598.772 |
| 19 | $ 960.796 | $ 780.476 | $ 55.249.562 |
| 20 | $ 968.796 | $ 778.412 | $ 54.888.511 |
| 21 | $ 976.796 | $ 776.300 | $ 54.515.488 |
| 22 | $ 984.796 | $ 774.143 | $ 54.130.362 |
| 23 | $ 992.796 | $ 771.940 | $ 53.733.000 |
| 24 | $ 1.000.796 | $ 769.694 | $ 53.323.266 |
| 25 | $ 1.008.796 | $ 767.405 | $ 52.901.026 |
| 26 | $ 1.016.796 | $ 765.075 | $ 52.466.141 |
| 27 | $ 1.024.796 | $ 762.705 | $ 52.018.472 |
| 28 | $ 1.032.796 | $ 760.295 | $ 51.557.878 |
| 29 | $ 1.040.796 | $ 757.848 | $ 51.084.219 |
| 30 | $ 1.048.796 | $ 755.364 | $ 50.597.349 |
| 31 | $ 1.056.796 | $ 752.845 | $ 50.097.123 |
| 32 | $ 1.064.796 | $ 750.291 | $ 49.583.395 |
| 33 | $ 1.072.796 | $ 747.703 | $ 49.056.016 |
| 34 | $ 1.080.796 | $ 745.083 | $ 48.514.836 |
| 35 | $ 1.088.796 | $ 742.431 | $ 47.959.702 |
| 36 | $ 1.096.796 | $ 739.749 | $ 47.390.463 |
| 37 | $ 1.104.796 | $ 737.037 | $ 46.806.961 |
| 38 | $ 1.112.796 | $ 734.297 | $ 46.209.041 |
| 39 | $ 1.120.796 | $ 731.529 | $ 45.596.544 |
| 40 | $ 1.128.796 | $ 728.735 | $ 44.969.310 |
| 41 | $ 1.136.796 | $ 725.914 | $ 44.327.176 |
| 42 | $ 1.144.796 | $ 723.069 | $ 43.669.979 |
| 43 | $ 1.152.796 | $ 720.200 | $ 42.997.552 |
| 44 | $ 1.160.796 | $ 717.307 | $ 42.309.728 |
| 45 | $ 1.168.796 | $ 714.392 | $ 41.606.339 |
| 46 | $ 1.176.796 | $ 711.456 | $ 40.887.212 |
| 47 | $ 1.184.796 | $ 708.499 | $ 40.152.175 |
| 48 | $ 1.192.796 | $ 705.522 | $ 39.401.053 |
| 49 | $ 1.200.796 | $ 702.527 | $ 38.633.668 |
| 50 | $ 1.208.796 | $ 699.512 | $ 37.849.842 |
| 51 | $ 1.216.796 | $ 696.481 | $ 37.049.394 |
| 52 | $ 1.224.796 | $ 693.432 | $ 36.232.141 |
| 53 | $ 1.232.796 | $ 690.367 | $ 35.397.898 |
| 54 | $ 1.240.796 | $ 687.287 | $ 34.546.478 |
| 55 | $ 1.248.796 | $ 684.192 | $ 33.677.693 |
| 56 | $ 1.256.796 | $ 681.083 | $ 32.791.351 |
| 57 | $ 1.264.796 | $ 677.961 | $ 31.887.260 |
| 58 | $ 1.272.796 | $ 674.826 | $ 30.965.223 |
| 59 | $ 1.280.796 | $ 671.679 | $ 30.025.044 |
| 60 | $ 1.288.796 | $ 668.521 | $ 29.066.523 |
| 61 | $ 1.296.796 | $ 665.352 | $ 28.089.458 |
| 62 | $ 1.304.796 | $ 662.172 | $ 27.093.646 |
| 63 | $ 1.312.796 | $ 658.984 | $ 26.078.880 |
| 64 | $ 1.320.796 | $ 655.786 | $ 25.044.951 |
| 65 | $ 1.328.796 | $ 652.579 | $ 23.991.649 |
| 66 | $ 1.336.796 | $ 649.365 | $ 22.918.761 |
| 67 | $ 1.344.796 | $ 646.144 | $ 21.826.071 |
| 68 | $ 1.352.796 | $ 642.915 | $ 20.713.361 |
| 69 | $ 1.360.796 | $ 639.681 | $ 19.580.411 |
| 70 | $ 1.368.796 | $ 636.441 | $ 18.427.000 |
| 71 | $ 1.376.796 | $ 633.195 | $ 17.252.900 |
| 72 | $ 1.384.796 | $ 629.945 | $ 16.057.886 |
| 73 | $ 1.392.796 | $ 626.691 | $ 14.841.726 |
| 74 | $ 1.400.796 | $ 623.433 | $ 13.604.188 |
| 75 | $ 1.408.796 | $ 620.171 | $ 12.345.038 |
| 76 | $ 1.416.796 | $ 616.907 | $ 11.064.037 |
| 77 | $ 1.424.796 | $ 613.640 | $ 9.760.945 |
| 78 | $ 1.432.796 | $ 610.372 | $ 8.435.519 |
| 79 | $ 1.440.796 | $ 607.102 | $ 7.087.513 |
| 80 | $ 1.448.796 | $ 603.830 | $ 5.716.680 |
| 81 | $ 1.456.796 | $ 600.558 | $ 4.322.767 |
| 82 | $ 1.464.796 | $ 597.286 | $ 2.905.521 |
| 83 | $ 1.472.796 | $ 594.014 | $ 1.464.685 |
| 84 | $ 1.480.796 | $ 590.743 | $ 0 |
| Totales | $ 96.498.900 | $ 60.000.000 |
Desarrollo paso a paso (5 pasos)
- Despeje del primer pagoVP del gradiente = VP dado → A = (VP − VP de la parte variable) / factor de AA = ($ 60.000.000,00 − $ 15.368.440,56) / 54,64220674= $ 816.796,43
- Valor presente de la parte uniformeVP₁ = A · (1 − (1+i)^−n) / iVP₁ = $ 816.796,43 · 54,64220674= $ 44.631.559,44
- Valor presente del gradienteVP₂ = (G/i) · [(1 − (1+i)^−n)/i − n·(1+i)^−n]VP₂ = $ 8.000,00 · 1.921,05507031= $ 15.368.440,56
- Valor presente totalVP = VP₁ + VP₂VP = $ 44.631.559,44 + $ 15.368.440,56= $ 60.000.000,00
- Valor futuroVF = VP · (1 + i)^nVF = $ 60.000.000,00 · (1 + 0,01100000)^84= $ 150.400.167,53
◧ Caso de práctica · Una beca que crece para siempre Avanzado
Una fundación quiere crear una beca anual a perpetuidad. La primera beca, dentro de un año, será de $2.400.000, y cada año siguiente subirá $150.000. El dinero rinde el 9 % efectivo anual. ¿Cuánto debe depositar hoy la fundación?
Modelo Gradiente aritmético perpetuo · VP = A/i + G/i²
Respuesta Depósito inicial: $ 45.185.185,19
$26.666.667 cubren la beca base (A/i) y $18.518.519 más financian los aumentos (G/i²).
◧ Caso de práctica · Crédito con cuota que sube cada mes Intermedio
Un crédito de $60.000.000 se paga en 84 cuotas mensuales que suben $8.000 cada mes, con una tasa del 1,1 % mensual. ¿De cuánto es la primera cuota?
Modelo Gradiente aritmético · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VP
Respuesta Primera cuota: $ 816.796,43
La primera cuota es de $816.796 y la última (la 84) de $1.480.796. Empezar más bajo que con cuota fija se paga con más intereses al final.
◧ Caso de práctica · Ahorro con depósitos que crecen en porcentaje Intermedio
Una pareja quiere reunir $25.000.000 en 3 años con depósitos trimestrales vencidos que crecen un 4 % cada trimestre. La cuenta paga el 3,5 % trimestral. ¿De cuánto debe ser el primer depósito?
Modelo Gradiente geométrico · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VF
Respuesta Primer depósito: $ 1.389.451,44
El primer depósito es de $1.389.451. Aquí el crecimiento (4 %) es mayor que la tasa (3,5 %): la fórmula sigue sirviendo mientras no sean iguales.
◧ Caso de práctica · Cuotas fijas que suben cada año (escalonado) Avanzado
Un crédito de vivienda de $70.000.000 a 4 años se paga con cuotas mensuales iguales durante cada año, que suben un 8 % de un año al siguiente. La tasa es del 15 % efectivo anual. ¿De cuánto son las cuotas mensuales del primer año?
Modelo Gradiente escalonado: cada año es una anualidad; sus valores finales forman un gradiente geométrico anual
Respuesta Cuota mensual del primer año: $ 1.722.761,05
Durante el primer año paga $1.722.761 al mes; el segundo año, $1.860.582 (un 8 % más), y así sucesivamente.
◧ Caso de práctica · Retiros para siempre que crecen con la inflación Avanzado
Una persona tiene $50.000.000 en un fondo que rinde el 9 % efectivo anual. Quiere retirar dinero cada año, para siempre, aumentando cada retiro un 3 %. ¿Cuánto puede retirar el primer año?
Modelo Gradiente geométrico perpetuo · incógnita: primer pago (A = VP · (i − g))
Respuesta Primer retiro: $ 3.000.000,00
Puede retirar $3.000.000 el primer año y subir el retiro un 3 % cada año sin agotar nunca el fondo: solo gasta el rendimiento que excede al crecimiento (9 % − 3 %).