Formulario
Las fórmulas que usa la aplicación, con la notación del curso. VP valor presente,
VF valor futuro, i tasa del periodo, n número de periodos,
A cuota, J tasa nominal anual, m capitalizaciones por año,
d tasa anticipada o de descuento.
Tasas
| Nominal a periódica | i = J / m |
| Periódica a nominal | J = i · m |
| Periódica a efectiva anual | EA = (1 + i)^m − 1 |
| Efectiva anual a periódica | i = (1 + EA)^(1/m) − 1 |
| Anticipada a vencida | i = d / (1 − d) |
| Vencida a anticipada | d = i / (1 + i) |
| Índice + puntos (DTF, IBR) | J = J_índice + puntos, en la forma del índice |
| Tasa real (Fisher) | iᵣ = (iₜ − i_f) / (1 + i_f) |
| Tasas combinadas | i = i₁ + i₂ + i₁ · i₂ |
Dos tasas son equivalentes si producen la misma efectiva anual. Esa es la única forma
correcta de comparar tasas con periodos distintos.
Interés simple
| Intereses | I = VP · i · n |
| Valor futuro | VF = VP · (1 + i · n) |
| Valor presente | VP = VF / (1 + i · n) |
| Tasa | i = (VF/VP − 1) / n |
| Tiempo | n = (VF/VP − 1) / i |
Las tasas equivalentes son proporcionales: 2 % mensual = 24 % anual simple.
Interés compuesto
| Valor futuro | VF = VP · (1 + i)ⁿ |
| Valor presente | VP = VF / (1 + i)ⁿ |
| Tasa | i = (VF/VP)^(1/n) − 1 |
| Tiempo | n = ln(VF/VP) / ln(1 + i) |
Las tasas equivalentes se obtienen por capitalización, no por proporción.
Ecuaciones de valor
| Igualdad | Σ deudas = Σ pagos (en la fecha focal f) |
| Llevar un valor a f | V · (1 + i)^(f − t) |
| Tasas por periodo | VP = V / [(1 + i₁)(1 + i₂)…(1 + iₜ)] |
| Tiempo de un pago | n = −ln(VP necesario / V) / ln(1 + i) |
La fecha focal es de libre escogencia: cambia las cuentas intermedias, nunca la respuesta.
Descuento
| Comercial (bancario) | D = VN · d · n ; VP = VN(1 − d·n) |
| Racional (justo) | VP = VN / (1 + i·n) |
| Compuesto | VP = VN · (1 − d)ⁿ |
| Equivalencia | i = d / (1 − d·n) ; d = i / (1 + i·n) |
El descuento comercial se calcula sobre el valor nominal, así que cuesta más que su
tasa aparente. El racional se calcula sobre el valor presente.
Factoring
| Valor anticipado | VA = VN · a |
| Descuento (tasa anticipada) | D = VA · d · n |
| Descuento (tasa vencida) | D = VA · i·n / (1 + i·n) |
| Neto hoy | Neto = VA − D − C − G − IVA − GMF |
| Remanente | R = VN − VA |
| Costo efectivo | EA = (VA / Neto)^(1/n) − 1 |
El remanente no es un costo: es dinero suyo que el fondo devuelve al cobrar. Por eso el
costo se mide entre el neto que llega hoy y el anticipo que el fondo se queda al vencer.
Anualidades
| VP ordinaria | VP = A · (1 − (1+i)⁻ⁿ) / i |
| VF ordinaria | VF = A · ((1+i)ⁿ − 1) / i |
| Cuota | A = VP · i / (1 − (1+i)⁻ⁿ) |
| Número de cuotas | n = −ln(1 − VP·i/A) / ln(1+i) |
| Anticipada | VP_ant = VP_ord · (1 + i) |
| Diferida (k de gracia) | VP_dif = VP_ord / (1 + i)ᵏ |
| Perpetua | VP = A / i ; i = A / VP |
Gradientes
| Aritmético | VP = A·(1−(1+i)⁻ⁿ)/i + (G/i)·[(1−(1+i)⁻ⁿ)/i − n(1+i)⁻ⁿ] |
| Geométrico (i ≠ g) | VP = A · [1 − ((1+g)/(1+i))ⁿ] / (i − g) |
| Geométrico (i = g) | VP = A · n / (1 + i) |
| Cuota k | Cₖ = C₁ + (k − 1)·L ; Cₖ = C₁ · (1 + g)^(k − 1) |
| Anticipado | VP_ant = VP_venc · (1 + i) |
| Aritmético perpetuo | VP = A/i + G/i² |
| Geométrico perpetuo (g < i) | VP = A / (i − g) |
| Escalonado | I = (1+i)^m − 1 ; C = c · ((1+i)^m − 1)/i ; gradiente de C con la tasa I |
| Saldo tras la cuota k | VP, en k, de las cuotas que faltan |
Amortización
| Interés del periodo | Iₜ = Saldoₜ₋₁ · i |
| Abono a capital | Kₜ = A − Iₜ |
| Saldo | Saldoₜ = Saldoₜ₋₁ − Kₜ |
| Sistema alemán | Kₜ = VP / n (fijo) ; Aₜ = Kₜ + Iₜ |
| Sistema americano | Aₜ = VP · i ; el capital se paga al final |
| Cuota fija anticipada | A = VP · i / [(1 − (1+i)⁻ⁿ) · (1 + i)] |
| Intereses anticipados | I₀ = VP · iₐ ; Aₜ = K + iₐ · Saldoₜ |
| Abonos pactados | A = [VP − Σ abono · (1+i)⁻ᵗ] · i / (1 − (1+i)⁻ⁿ) |
| UVR / moneda extranjera | tabla en unidades × valor unidadₜ = valor₀ · (1 + variación)ᵗ |
| Capitalización (ahorro) | Saldoₜ = Saldoₜ₋₁ · (1 + i) + depósitoₜ |
| Leasing con opción de compra | A = (VP − VR · (1+i)⁻ⁿ) / [(1 − (1+i)⁻ⁿ) / i · (1 + i)] |
| Plan de retiro | A · ((1+i₁)ⁿ¹ − 1) / i₁ = R · (1 − (1+i₂)⁻ⁿ²) / i₂ |
Un abono extraordinario baja el saldo de inmediato. Si se mantiene la cuota, se acorta el
plazo y se ahorra más; si se recalcula la cuota, el plazo sigue igual y alivia el flujo mensual.
Evaluación de proyectos
| Valor presente neto | VPN = Σ Fₜ / (1 + k)ᵗ |
| TIR | VPN(TIR) = 0 |
| Relación beneficio/costo | B/C = VP(ingresos) / VP(egresos) |
| CAUE | CAUE = VPN · i / (1 − (1+i)⁻ⁿ) |
| VPN con tasas por periodo | VPN = Σ Fₜ / [(1 + k₁) · … · (1 + kₜ)] |
| Precio de un bono | P = C · (1 − (1+y)⁻ⁿ) / y + VN · (1+y)⁻ⁿ |
| Duración de Macaulay | D = Σ t · VP(Fₜ) / P |
Se acepta si VPN > 0, que es lo mismo que TIR > tasa de oportunidad y B/C > 1.