Gradientes · series que crecen
Cuando los pagos no son iguales sino que suben (o bajan) de forma regular. El gradiente aritmético suma una cantidad fija cada periodo; el geométrico crece un porcentaje fijo, que es como se comportan los arriendos y los salarios indexados a la inflación.
Pagos que crecen para siempre: valorar un negocio, una renta indexada o un fondo de retiros.
Datos de la serie
Resultado
Desarrollo paso a paso (1 pasos)
- Valor presente de un gradiente aritmético perpetuoVP = A / i + G / i²VP = $ 2.400.000,00 / 0,090000 + $ 150.000,00 / 0,090000²= $ 45.185.185,19
◧ Caso de práctica · Una beca que crece para siempre Avanzado
Una fundación quiere crear una beca anual a perpetuidad. La primera beca, dentro de un año, será de $2.400.000, y cada año siguiente subirá $150.000. El dinero rinde el 9 % efectivo anual. ¿Cuánto debe depositar hoy la fundación?
Modelo Gradiente aritmético perpetuo · VP = A/i + G/i²
Respuesta Depósito inicial: $ 45.185.185,19
$26.666.667 cubren la beca base (A/i) y $18.518.519 más financian los aumentos (G/i²).
◧ Caso de práctica · Crédito con cuota que sube cada mes Intermedio
Un crédito de $60.000.000 se paga en 84 cuotas mensuales que suben $8.000 cada mes, con una tasa del 1,1 % mensual. ¿De cuánto es la primera cuota?
Modelo Gradiente aritmético · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VP
Respuesta Primera cuota: $ 816.796,43
La primera cuota es de $816.796 y la última (la 84) de $1.480.796. Empezar más bajo que con cuota fija se paga con más intereses al final.
◧ Caso de práctica · Ahorro con depósitos que crecen en porcentaje Intermedio
Una pareja quiere reunir $25.000.000 en 3 años con depósitos trimestrales vencidos que crecen un 4 % cada trimestre. La cuenta paga el 3,5 % trimestral. ¿De cuánto debe ser el primer depósito?
Modelo Gradiente geométrico · incógnita: primer pago (C₁) a partir del VF
Respuesta Primer depósito: $ 1.389.451,44
El primer depósito es de $1.389.451. Aquí el crecimiento (4 %) es mayor que la tasa (3,5 %): la fórmula sigue sirviendo mientras no sean iguales.
◧ Caso de práctica · Cuotas fijas que suben cada año (escalonado) Avanzado
Un crédito de vivienda de $70.000.000 a 4 años se paga con cuotas mensuales iguales durante cada año, que suben un 8 % de un año al siguiente. La tasa es del 15 % efectivo anual. ¿De cuánto son las cuotas mensuales del primer año?
Modelo Gradiente escalonado: cada año es una anualidad; sus valores finales forman un gradiente geométrico anual
Respuesta Cuota mensual del primer año: $ 1.722.761,05
Durante el primer año paga $1.722.761 al mes; el segundo año, $1.860.582 (un 8 % más), y así sucesivamente.
◧ Caso de práctica · Retiros para siempre que crecen con la inflación Avanzado
Una persona tiene $50.000.000 en un fondo que rinde el 9 % efectivo anual. Quiere retirar dinero cada año, para siempre, aumentando cada retiro un 3 %. ¿Cuánto puede retirar el primer año?
Modelo Gradiente geométrico perpetuo · incógnita: primer pago (A = VP · (i − g))
Respuesta Primer retiro: $ 3.000.000,00
Puede retirar $3.000.000 el primer año y subir el retiro un 3 % cada año sin agotar nunca el fondo: solo gasta el rendimiento que excede al crecimiento (9 % − 3 %).